LZ Le Zhao
生活随笔

光学公式

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光学公式

目录

第一章 费马原理与变折射率光学

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  • 折射定律：
\[n_1\sin i_1=n_2\sin i_2\]

  • 光在介质中传播时，频率\(f\)通常是一个定值，且始终有\(v=\lambda f\)

  • 折射率与光速的关系为

\[n=\frac{c}{v},\ \ \ \ \ v=\frac{c}{n}\]

        相应地，折射率与波长的关系为

\[n=\frac{\lambda_0}{\lambda},\ \ \ \ \ \lambda=\frac{\lambda_0}{n}\]

        折射率与光程\(l\)（光认为的距离）的关系为

\[n=\frac{l}{l_0},\ \ \ \ \ l_0=\frac{l}{n}\]
  • 相位差的计算公式为
\[\varphi=2\pi\frac{l_0}{\lambda}=2\pi\frac{l/n}{\lambda_0/n}=2\pi\frac{l}{\lambda_0}\]
  • 光在介质中的传播时间为
\[t=\frac{l_0}{v}=\frac{l}{c}\]
  • 球面折射的傍轴成像公式为（设左方（物方）介质折射率为\(n\)，右方（像方）介质折射率为\(n'\)，球心位于像方一侧，半径为\(r\)，以球面中点为原点）
\[\frac{n}{s}+\frac{n'}{s'}=\frac{n'-n}{r}\]

        令上式中\(s'=\infty\)或\(s=\infty\)可导出物方焦距（前焦距）\(f\)与像方焦距（后焦距）\(f'\)分别为

\[f=\frac{n}{n'-n}r,\ \ \ \ \ f'=\frac{n'}{n'-n}r\]

        物方焦距与像方焦距的比值为

\[\frac{s}{s'}=\frac{n}{n'}\]
  • 单球面折射的齐明点满足（若以球心\(\mathrm{C}\)为原点）
\[s_0'=\frac{n'}{n}r,\ \ \ \ \ s_0=\frac{n}{n'}r,\ \ \ \ \ s_0's_0=r^2\]

  • 在齐明点上，有阿贝正弦定理\(ny\sin u=n'y'\sin u'\)，其中\(u\)和\(u'\)为光锥孔径角

  • 当光线在变折射率介质中传播时，光线方程需要满足

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\sqrt{\frac{n^2\left(y\right)}{n_0^2\sin^2\theta_0}-1}\]

        或

\[\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{1}{2n_0^2\sin^2\theta_0}\cdot\frac{\mathrm{d}\left(n^2\right)}{\mathrm{d}y}\]

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第二章 波动光学引论

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光波的复振幅描述

  • 平面简谐波：
\[\begin{aligned} U\left(\vec{r},t\right)&=A\cos\left(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{r}-\varphi_0\right)\\ \tilde{U}\left(\vec{r},t\right)&=A\mathrm{e}^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\cdot\mathrm{e}^{-i\omega t} \end{aligned}\]

        球面简谐波：

\[\begin{aligned} U\left(\vec{r},t\right)&=\frac{a_1}{r}\cos\left(\omega t-kr-\varphi_0\right)\\ \tilde{U}\left(\vec{r},t\right)&=\frac{a_1}{r}\mathrm{e}^{ikr}\cdot\mathrm{e}^{-i\omega t} \end{aligned}\]

        柱面简谐波：

\[\begin{aligned} U\left(\vec{r},t\right)&=\frac{b_1}{\sqrt{r}}\cos\left(\omega t-kr-\varphi_0\right)\\ \tilde{U}\left(\vec{r},t\right)&=\frac{b_1}{\sqrt{r}}\mathrm{e}^{ikr}\cdot\mathrm{e}^{-i\omega t} \end{aligned}\]

        其中\(k=2\pi/\lambda\)

  • 引入复振幅\(\tilde{U}=A\left(P\right)\mathrm{e}^{i\varphi\left(P\right)}\)

  • 对于轴外点源的球面波，有

\[\tilde{U}\left(P\right)=\frac{a_1}{r}\mathrm{e}^{\pm ikr}\\\\ r=\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2}\]

  • 在傍轴条件\(z^2\gg\rho^2\)和远场条件\(z\lambda\gg\rho^2\)时，球面波可以近似看成平面波

  • 当两束光\(I\left(P_1\right)\)和\(I\left(P_2\right)\)发生干涉时，干涉强度为\(I\left(P\right)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta\left(P\right)\)，衬比度为

\[\gamma=\frac{I_M-I_m}{I_M+I_m}=\frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}\]

        由此可将干涉强度改写为\(I\left(P\right)=I_0\left(1+\gamma\cos\delta\left(P\right)\right)\)，其中\(I_0=I_1+I_2\)

光波干涉引论

  • 对于杨氏双缝干涉，在\(x\)处两束光的光程差为
\[\begin{aligned} \delta r&=r_1-r_2=\sqrt{D^2+\left(x+\frac{d}{2}\right)^2+y^2}-\sqrt{D^2+\left(x-\frac{d}{2}\right)^2+y^2}\\\\ &\approx\left[D+\frac{\left(x+\frac{d}{2}\right)^2+y^2}{2D}\right]-\left[D+\frac{\left(x-\frac{d}{2}\right)^2+y^2}{2D}\right]\approx\frac{xd}{D} \end{aligned}\]

        因此干涉条纹分布为

\[I\left(x,y\right)=I_0\left(1+\cos k\frac{d}{D}x\right)\]

        相应的干涉条纹间距为

\[k\frac{d}{D}x=2\pi\Leftrightarrow x=\frac{2\pi D}{kd}=\frac{\lambda D}{d}\]
  • 两束平行光与\(x\)轴的夹角分别为\(\theta_1\)和\(\theta_2\)，则其干涉场的条纹间距公式为
\[\Delta x=\frac{\lambda}{\sin\theta_1+\sin\theta_2}\]

        相应的空间频率为

\[f=\frac{\sin\theta_1+\sin\theta_2}{\lambda}\]

光波衍射引论

  • 中心衍射斑的角宽度\(\Delta \theta\)与波长\(\lambda\)和距离\(\rho\)的关系为
\[\rho\cdot\Delta\theta\approx\lambda\]
  • 菲涅尔衍射积分公式：
\[\tilde{U}\left(P\right)=K\oint_{\left(\Sigma\right)}f\left(\theta_0,\theta\right)\tilde{U}_0\left(Q\right)\frac{\mathrm{e}^{ikr}}{r}\mathrm{d}S\]

        其中\(f\left(\theta_0,\theta\right)\)为倾斜因子

  • 基尔霍夫衍射积分公式：
\[\tilde{U}\left(P\right)=\frac{-i}{\lambda}\oint_{\left(\Sigma\right)}\frac{1}{2}\left(\cos\theta_0+\cos\theta\right)\tilde{U}_0\left(Q\right)\frac{\mathrm{e}^{ikr}}{r}\mathrm{d}S\]
  • 考虑到基尔霍夫边界条件（即只有光孔面的波前对场点有贡献）和傍轴衍射（即倾斜因子为\(1\)），衍射积分公式变为
\[\tilde{U}\left(P\right)=\frac{-i}{\lambda r_0}\oint_{\left(\Sigma\right)}\tilde{U}_0\left(Q\right)\mathrm{e}^{ikr}\mathrm{d}S\]

        其中\(\tilde{U}_0\left(Q\right)\)被称为瞳函数

  • 菲涅尔衍射：光源与接收屏到衍射屏的距离不均为无限远；夫琅禾费衍射：光源与接收屏到衍射屏的距离均为无限远

半波带方法

  • 在以点源为球心的球面上，以场点为球心，\(b\)、\(b+{\lambda}/{2}\)、\(b+2{\lambda}/{2}\)等为半径分割波前为一系列环带，则每一环带对场点的贡献应当相同，相邻环带对场点的贡献相反。称为半波带方法。第一个半波带的光场振幅贡献\(A_1\)为自由光场振幅\(A_0\)的两倍，即有\(A_1=2A_0\)

  • 由余弦定理和小量近似可得圆孔半径与半波带阶数的关系为

\[\rho_k=\sqrt{k\frac{Rb\lambda}{R+b}}=\sqrt{k}\rho_1,\ \ \ \ \ \rho_1=\sqrt{\frac{Rb\lambda}{R+b}}\]

        相应的，若圆孔半径\(\rho\)给定，则其所包含的半波带数目为

\[k=\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{b}\right)\cdot\frac{\rho^2}{\lambda}\]

        或

\[\frac{1}{R}+\frac{1}{b}=k\frac{\lambda}{\rho^2}\]

  • 当孔的半径不大时，圆屏的衍射花样是在以圆盘状暗场背景中出现一个泊松亮斑，其衍射强度与自由光场相同

  • 波带片的第k个焦点就是令上式中\(R\rightarrow\infty\)所计算得到的\(b\)的值，即有

\[\frac{1}{f_k}=k\frac{\lambda}{\rho^2}\]
  • 波带片的衍射成像公式为
\[\frac{1}{R}+\frac{1}{b_k}=k\frac{\lambda}{\rho^2}=\frac{1}{f_k}\]

单缝夫琅禾费衍射

  • 单缝夫琅禾费衍射的振幅分布与强度分布为
\[\begin{aligned} A\left(\theta\right)&=A_0\frac{\sin\alpha}{\alpha}\\\\ I\left(\theta\right)&=I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2 \end{aligned}\]

        其中

\[\alpha=\frac{\delta}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi}{\lambda}a\sin\theta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\\\\ I_0=\frac{\left(ab\right)^2}{\left(\lambda f\right)^2}A^2\]

        \(a\)为缝宽，\(\theta\)为衍射花纹位置与原点的连线和传播方向之间的夹角，\(b\)为缝的长度

  • 以\(\alpha\)为变量，当满足\(\alpha=k\pi\)，即\(a\sin\theta=k\lambda\)时，衍射强度为\(0\)

  • 零级衍射斑的半角宽度为

\[\Delta\theta_0=\frac{\lambda}{a}\]
  • 衍射场大小正比于缝宽，故光强正比于缝宽的平方，零级衍射峰峰值反比与缝宽的平方

矩形孔夫琅禾费衍射

  • 矩形孔的夫琅禾费衍射强度分布为
\[I\left(\theta_1,\theta_2\right)=I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\cdot\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2\]

        其中

\[\alpha=\frac{\pi a\sin\theta_1}{\lambda},\ \ \ \ \ \beta=\frac{\pi b\sin\theta_2}{\lambda}\\\\ I_0=\frac{\left(ab\right)^2}{\left(\lambda f\right)^2}A^2\]
  • 当衍射角满足
\[\left\{ \begin{aligned} a\sin\theta_1&=k_1\lambda,\ \ \ k_1=\pm1,\pm2,\dotsb\\\\ b\sin\theta_2&=k_2\lambda,\ \ \ k_2=\pm1,\pm2,\dotsb \end{aligned} \right.\]

        时，衍射强度为零，为暗条纹

  • 在\(x\)方向和\(y\)方向的半角宽度分别为
\[\Delta\theta_1\approx\frac{\lambda}{a},\ \ \ \ \ \Delta\theta_2\approx\frac{\lambda}{b}\]

圆孔夫琅禾费衍射

  • 圆孔的夫琅禾费衍射强度分布为
\[I\left(\theta\right)=I_0\left(\frac{2J_1\left(x\right)}{x}\right)^2\]

        其中\(J_1\left(x\right)\)为一阶贝塞尔函数

\[x=\frac{2\pi a\sin\theta}{\lambda}\\\\ I_0=\frac{\left(\pi a^2\right)^2}{\left(\lambda f\right)^2}A^2\]
  • 当满足\(x_0=1.22\pi\)，即衍射角满足
\[\Delta\theta_0\approx1.22\frac{\lambda}{D}\]

        时，衍射强度为零，为暗条纹。这也是描述成像仪器分辨本领的瑞利判据

  • 对望远镜来说，由于入射物镜的光线都能够进入人眼，因此其最小分辨角为
\[\delta\theta_m\approx1.22\frac{\lambda}{D_o}\]

        其中\(D_o\)为物镜的直径

  • 对于显微镜来说，根据最小分辨角，可以推出其可分辨的最小线度为
\[\delta y_m\approx 0.61\frac{\lambda_0}{n_0\sin u_0}=0.61\frac{\lambda_0}{\mathrm{N.A.}}\]

        其中\(\mathrm{N.A.}\)被称为显微镜镜头的数值孔径，\(u_0\)为从样品看去物镜镜头张角的一半

偏振光引论

  • 线偏振光：光矢量可以表示为\(\vec{E}\left(t\right)=\vec{A}\cos\omega t\)，或用分量表示为
\[E_x\left(t\right)=A_x\cos\omega t,\ \ \ \ \ E_y\left(t\right)=A_y\cos\left(\omega t+\varphi\right)\]

  • 自然光：偏振方向、相位和各方向光强等均为随机

  • 部分偏振光：存在一光强择优取向

  • 圆偏振光：光矢量\(\vec{E}\left(t\right)\)随时间仅改变方向而不改变大小，表示为\(\vec{E}\left(t\right)=E_x\left(t\right)\vec{i}+E_y\left(t\right)\vec{j}\)，或用分量表示为

\[E_x\left(t\right)=A\cos\omega t,\ \ \ \ \ E_y\left(t\right)=A\cos\left(\omega t\pm\frac{\pi}{2}\right)\]
  • 椭圆偏振光：水平与竖直分量振幅不相等的圆偏振光为椭圆偏振光，用分量表示为
\[E_x\left(t\right)=A_x\cos\omega t,\ \ \ \ \ E_y\left(t\right)=A_y\cos\left(\omega t\pm\delta\right)\]

        当\(\delta=\pm\pi/2\)时，为正椭圆偏振光；当\(\delta\neq\pi/2\)时，为斜椭圆偏振光

  • 马吕斯定律：一束光在通过偏振片后，光强变为\(I_P=A_{//}^2=\left(A_0\cos\alpha\right)^2\)，其中\(A_0\)为原始振幅，\(\alpha\)为光的偏振方向与偏振片透振方向的夹角

  • 自然光透过偏振片后，光强变为

\[I_P\left(\alpha\right)=I_0\langle\cos^2\theta\rangle=I_0\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\mathrm{d}\theta=\frac{1}{2}I_0\]
  • 对于部分偏振光，取其经过偏振片后的投射光强极大值和极小值分别为\(I_M\)和\(I_m\)，相应的方向为\(x\)方向和\(y\)方向，则可将部分偏振光表示为
\[I_P\left(\alpha\right)=I_m\cos^2\alpha+I_M\sin^2\alpha\]

        或将其改写为

\[I_P\left(\alpha\right)=I_m\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)+\left(I_M-I_m\right)\sin^2\alpha\]

        即有

\[I_P\left(\beta\right)=I_m+\left(I_M-I_m\right)\cos^2\beta\]

        说明部分偏振光可以分解为一个强度为\(2I_m\)的自然光和一个幅值为\(I_M-I_m\)的线偏振光的叠加

  • 椭圆偏振光通过偏振片后，可通过将\(x\)、\(y\)方向分量分别投影到透振方向并叠加计算干涉光场强度

  • 偏振度的表达式为

\[p=\frac{I_M-I_m}{I_M+I_m}\]

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第三章 介质界面光学与近场光学显微镜

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  • 当入射角\(i_1\)和折射角\(i_2\)的和满足\(i_1+i_2=\pi/2\)时，反射光的\(p\)分量几乎为零，此时的\(i_1\)被称为布儒斯特角\(i_B\)。由于\(n_1\sin i_1=n_2\sin i_2\)，有
\[\tan i_B=\frac{n_2}{n_1}\]
  • 斯托克斯倒逆关系：
\[\left\{ \begin{aligned} &rt+r't=0\\\\ &1-\left(r^2+tt'\right)=0 \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} &r'=-r\\\\ &r^2+tt'=1 \end{aligned} \right.\]

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第四章 干涉装置与广场时空相干性

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  • 法布里珀罗干涉仪所选择的波长满足
\[2nh=K\lambda_K,\ \ \ \ \ \lambda_K=\frac{2nh}{K}\]

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第五章 多元多维结构衍射与分形光学

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  • 以矩形孔为例，当点源有了\(\left(x_0,y_0\right)\)的位移时，夫琅禾费衍射光场分布变为
\[\tilde{U}'\left(\theta_1,\theta_2\right)=\tilde{U}\left(\theta_1,\theta_2\right)\cdot\mathrm{e}^{-ik\left(x_0\sin\theta_1y_0\sin\theta_2\right)}\]
  • 含\(N\)个全同单元的有序结构产生的夫琅禾费衍射场的一般表达式为
\[\tilde{U}\left(\theta_1,\theta_2\right)=\sum_{j=0}^{N-1}\tilde{u}_j=\tilde{u}_0\cdot\left[\sum_{j=0}^{N-1}\mathrm{e}^{i\left(\delta_{1j}+\delta_{2j}\right)}\right]=\tilde{u}_0\cdot\tilde{S}\left(\theta_1,\theta_2\right)\]

        其中\(\left(\delta_{1j},\delta_{2j}\right)=-k\left(x_j\sin\theta_1+y_j\sin\theta_2\right)\)，\(\tilde{u}_0\)为单元因子，\(\tilde{S}\)为结构因子

  • 一维光栅的夫琅禾费衍射场结构因子为
\[\begin{aligned} \tilde{S}\left(\theta\right)&=\sum_{j=1}^N\mathrm{e}^{i\delta_j}=\left(1+\mathrm{e}^{i\delta}+\mathrm{e}^{i\left(2\delta\right)}+\dotsb++\mathrm{e}^{i\left(N-1\right)\delta}\right)=\frac{1-\mathrm{e}^{iN\delta}}{1-\mathrm{e}^{i\delta}}\\\\ &=\mathrm{e}^{i\left(N-1\right)\beta}\cdot\left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right),\ \ \ \ \ \beta=\frac{\delta}{2}=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda} \end{aligned}\]

        上式化简时使用了公式

\[\left(1-\mathrm{e}^{i\Phi}\right)=-2\sin\left({\Phi}/{2}\right)\cdot\mathrm{e}^{i\Phi/2}\cdot i\]

        因此总衍射场可以写为

\[\tilde{U}\left(\theta\right)=\tilde{u}_0\left(\theta\right)\cdot\tilde{S}\left(\theta\right)=\tilde{c}\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)\cdot\left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)\mathrm{e}^{i\left(N-1\right)\beta}\]

        其中

\[\alpha=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda},\ \ \ \ \ \beta=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\]

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第八章 光在晶体中的传播

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  • 考虑一束偏振光入射波晶片，当光轴垂直于入射面时，出射光中\(\vec{E}_o\left(t\right)\)和\(\vec{E}_e\left(t\right)\)可写为
\[\varphi_o\left(B\right)=\varphi_o\left(A\right)-\frac{2\pi}{\lambda_0}n_od,\ \ \ \ \ \varphi_e\left(B\right)=\varphi_e\left(A\right)-\frac{2\pi}{\lambda_0}n_ed\]

        即会产生一相位差

\[\delta_{oe}'=\frac{2\pi}{\lambda_0}\left(n_e-n_o\right)d\]

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第九章 吸收·色散·散射

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  • 瑞利散射定律：
\[I\left(\omega\right)\propto\omega^4\propto\frac{1}{\lambda^4}\\\\ I\left(\theta\right)=I_0\left(1+\cos^2\theta\right)\]

        其中\(\theta\)为散射光方向与入射光方向的夹角。定律推导过程如下：

        设在外来光的激励下，分子感生电偶极矩为\(p\left(t\right)=p_0\cos\omega t\)，故电场幅值可以表示为

\[E_0\left(r,\alpha\right)\propto p_0\frac{\omega^2}{r}\sin\alpha\]

        其中\(\left(r,\alpha\right)\)为场点位置矢量的距离和方向角。因此辐射场的平均能流密度（即光场强度）满足

\[I_s\left(\omega\right)\propto E_0^2\left(\omega\right)\propto\omega^4\propto\frac{1}{\lambda^4}\\\\ I_s\left(\alpha\right)\propto E_0^2\left(\alpha\right)\propto\sin^2\alpha\]

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